Топология удержания

Я искал строгое определение жонглирования и его отличие от манипуляции предметами. Поиск сузился до физического вопроса: что меняется, когда телесное удержание уступает место освобождению?

Определения и границы

В этой статье манипуляция предметами — родовой класс практик, в которых исполнитель намеренно изменяет или поддерживает положение, движение либо конфигурацию физических предметов телесным контактом или физической связью. Для сравнения берётся манипуляция с непрерывным удержанием, где каждый активный предмет на протяжении эпизода удерживается телом напрямую. Исследуемое здесь жонглирование — вид такой манипуляции, где продолжение исполнения регулярно включает освобождение: хотя бы один активный предмет некоторое время не удерживается телом напрямую, а его траектория остаётся частью намеченного захвата, удара, передачи, отскока или следующего движения.

Внутри этого родового класса жонглирование переносит часть управления из непрерывного контакта в начальные условия, прогноз и последующее восстановление связи. При непрерывном удержании тело непосредственно ограничивает движение в каждый момент; после освобождения движение продолжают состояние предмета и динамика окружения. Это различие меняет пространство состояний модели: снимок удержания описывает мгновение, а жонглирование определяется траекторией освобождений и захватов вместе с отношением продолжения. Полное удержание может быть паузой, а полное освобождение — флешем.

Область статьи ограничена физической геометрией удержания, освобождения и восстановления связи. Психология исполнителя, социальные отношения, субкультуры, идентичность, художественное значение и проблемы цифровой репрезентации исполнения остаются за её пределами. Площадка ниже служит иллюстрацией формальной модели. Намерение появляется только как внешнее условие продолжения, заданное задачей, рисунком, исполнителем или наблюдателем; психологические переменные модель не вводит.

В системе есть тело, конечное множество предметов и окружение. Телом считается всё, что непосредственно удерживает: ладонь, щипок, прижатие к груди, мяч с опорой на стопу, несколько людей, взятых вместе, или робот. После освобождения предмет движется непрерывно, исходя из состояния в момент выпуска, под действием тяжести, воздуха, столкновений и дальнейших вмешательств. Освобождение снимает телесное удержание; предсказуемость, влияние и управление могут сохраняться.

Состояние удержания

Пусть — конечная активная область предметов, выбранная для описания. Её задают рассматриваемый номер, задача или отрезок времени. Внимание и замысел продолжения помогают наблюдателю выбрать , но остаются за пределами физического состояния удержания.

Для каждого помеченного предмета положим , когда тело непосредственно его удерживает, и во всех остальных случаях. Множество удерживаемых предметов и его мощность равны

Полное дискретное микросостояние задаётся , или битовым вектором из . Число забывает имена предметов. Следующая проекция даёт три макросостояния для любой непустой области:

Цепочка разделяет три масштаба: какие предметы удерживаются, сколько их и отсутствует ли удержание, смешано ли оно с освобождением или охватывает всю область. Знак означает , то есть отсутствие активной системы. Он удобен как нейтральный знак при объединении областей, но лежит вне трёх состояний непустой области. Признаки «есть удерживаемый» и «есть свободный» складываются из взаимно дополнительных состояний предметов и для любой непустой области дают ровно три активных режима.

Буква взята от акратеи. Исторически греческое слово означало недостаток силы или самообладания; здесь это объявленное формальное имя отсутствия непосредственного телесного удержания (LSJ). Воля, этика и действенность управления этим знаком не оцениваются. Знак напоминает о кратосе. Математика зависит только от .

Если области не пересекаются, добавленный нулевой знак даёт удобную композицию. Представим знак парой ответов «есть свободный, есть удерживаемый». Тогда

Здесь нейтрален, а поглощает. Такое соединение записывает грубое состояние объединения с тремя активными режимами.

Пути по кубу

Пусть — булев гиперкуб, вершинами которого служат множества удерживаемых предметов . Соединим две вершины, если удержание изменилось ровно у одного предмета:

Освобождение меняет на , а захват меняет на . Последовательность таких событий прокладывает путь исполнения по .

Для одного предмета бросок идёт . У двух предметов смешанные микросостояния и различаются двумя битами. Путь между ними из одиночных событий заходит либо в полное освобождение , либо в полное удержание .

Удалим две однородные вершины и назовём оставшийся порождённый граф . При граф связен тогда и только тогда, когда . Для проверки можно сократить любое непустое собственное подмножество до одного удерживаемого предмета, перейти между одноэлементными множествами через двухэлементное и обратить сокращение на пути к цели. Промежуточное множество из двух предметов остаётся собственным лишь при наличии третьего. Для трёх предметов вся смешанная область уже образует цикл:

Три предмета впервые позволяют двигаться внутри смешанного удержания одиночными событиями. Трёхпредметный каскад может идти по этому циклу, оставаясь в макросостоянии .

Четыре предмета дают другой порог. Расстояние от смешанного микросостояния до однородной границы равно

При трёх предметах каждое смешанное состояние отстоит от границы на одно событие. При четырёх состояние с двумя удерживаемыми имеет и остаётся смешанным после любого одиночного события. Наибольшее расстояние в общем случае равно . Это топологический запас; сложность навыка лежит на другой оси.

Пороги зависят и от алфавита событий. Одновременные действия можно писать пакетами или . Если обмен двух предметов считается одним событием, переход проходит без наблюдаемого промежуточного макросостояния. Синхронным броскам, мультиплексам, передачам из рук в руки и мгновенным парам захват–выпуск поэтому нужна семантика пакетов, сохраняющая одновременность.

Смешанное удержание — один из режимов жонглирования. Каскад может сохранять , флеш заходит в , полная остановка с предметами в руках — в . Флеш трёх предметов из покоя проходит

Те же знаки встречаются в других видах манипуляции. Чтобы отличить дроп от восстановления, пас от конца фразы, требуется замысел продолжения, которого в нет.

Сайтсвоп рядом с удержанием

Сайтсвоп записывает, в какую руку отправлен предмет и через сколько долей его бросят снова. Juggling Lab позволяет читать как удержание, модификатором заставляет бросить обычно удерживаемый предмет, а обозначает отсутствие броска (Juggling Lab). Состояние сайтсвопа у Чанг и Грэма есть расписание приземлений: двоичная последовательность отмечает будущие доли, в которые приземлятся летящие мячи (Chung and Graham, 2008).

Это две проекции более полного физического исполнения :

описывает расписание бросков и будущих приземлений, — телесное удержание сейчас. Обе проекции склеивают разные исполнения. Один сайтсвоп допускает разные физические реализации, а разные сайтсвопы могут делить грубую траекторию удержания. Числовая запись сама по себе оставляет открытыми выдержку и физическое прочтение двойки. Поэтому поиск с учётом удержания должен одновременно проверять корректность сайтсвопа, траектории удержания и их совместимость.

Площадка

Площадка ниже сводит обе проекции вместе. При соглашении об удержании — однопредметный рисунок, всё время остающийся в . Конечный флеш проходит мощности . Синхронный цикл освобождает все три предмета, проходит через пустые руки и снова удерживает все три. Площадка показывает мощность и макросостояние, пока сайтсвоп задаёт расписание приземлений.

Измерения

На отрезке длины доля смешанного состояния равна

Среднее нормированное удержание равно

Эти величины отвечают на разные вопросы. Система, которая половину времени проводит в , а половину в , имеет и . Система из двух предметов, где всё время удерживается ровно один, имеет и . Больше подробностей сохраняет профиль мощностей

Энтропию можно осмысленно ввести после выбора распределения по мощностям или микросостояниям, например . Она измеряла бы разнообразие посещённых конфигураций удержания. Неопределённость окружения требует отдельной стохастической модели.

Для равномерного жонглирования Шеннон связал время полёта , выдержку , пустое время руки , число мячей и число рук :

При доле выдержки среднее число удерживаемых равно . В чередующемся двухручном трёхпредметном каскаде с постоянным ритмом циклы рук сдвинуты на половину цикла. При хотя бы одна рука всё время занята; вместе с хотя бы одним летящим мячом это сохраняет макросостояние . Ниже порога между занятыми отрезками могут открываться заходы в .

Бек и Тёрви отмечали , и как заметные доли выдержки в трёхмячевом каскаде и около для пяти и семи мячей (Beek and Turvey, 1992). Статья 2024 года о планировании движений робота ссылается на человеческое предпочтение около , а для ограничений своей симуляции выбирает (Gomez Andreu, Ploeger, and Peters, 2024). Эти результаты уточняют временную сторону траектории удержания, но сами по себе её топологию не задают.

За пределами двоичного удержания

Пара , где содержит положения, скорости, вращения и другие непрерывные величины, образует небольшую гибридную динамическую модель. Удержание меняется дискретно, а физическое движение течёт непрерывно. В робототехнике жонглирование уже моделируют через непрерывные участки и скачки при ударах, а непрехенсивная манипуляция изучает планирование и управление без устойчивого захвата (Sanfelice, Teel, and Sepulchre, 2007; Ruggiero, Lippiello, and Siciliano, 2018; Ramadani et al., 2026).

Двоичное телесное удержание остаётся фактором более богатого отношения. В базовой конфигурации поев рука держит рукоять, а шнур ограничивает движение головы; при отскоке предмет ограничивает пол; в пассинге освобождение одним человеком отделено от захвата другим, тогда как передача из рук в руки может включать совместное удержание. Меняющееся отношение между людьми, частями предмета, окружением и объектами может описать эти случаи. Множество сохраняет только прямую связь тела с предметом.

Эта факторизация разделяет освобождение и потерю управления, состояние и намерение, сайтсвоп и физическую реализацию. При одиночных событиях удержания она даёт два точных порога: три предмета впервые дают связную область смешанных микросостояний, а четыре впервые дают смешанное состояние, отделённое одним событием от обеих однородных границ.

Заметка

Мне нужен был флеш трёх предметов из покоя, затем удержание всех трёх, затем снова флеш, на бумаге к . Я очень долго искал корректный сайтсвоп для этого пути. Прямое не сходится.